Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（10，0），OB=OC，
（1）求點B的坐標；
（2）點P從C點出發，沿線段CO以1個單位/秒的速度向終點O勻速運動，過點P作PH⊥OC，交折線C-B-O于點H，設點P的運動時間為t秒（0≤t≤10），
①是否存在某個時刻，使△OPH的面積等于△OBC面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②以P為圓心，PC長為半徑作⊙P，當⊙P與線段OB只有一個公共點時，求t的值或t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知，B點的縱坐標等于A點的縱坐標．OC=OB可知A、B在以坐標原點O為圓心，以OC長為半徑的圓上，即可得出B點坐標；
（2）①首先根據已知條件，求出OB的一次函數解析式．進而確定出P點、H點的坐標．分別用t表示△OPH與△OBC的面積，再根據已知條件△OPH的面積等于△OBC面積的，列出關于t的一元一次方程式．解方程即可求出t的值．
②首先確定B點、P點的坐標．再根據△OBP分別以OP、OB為底邊的面積求法，列出關于t的等量關系式，解t即可．
解答：解：（1）∵AB∥OC，OC=OB，A的坐標為（0，8），點C的坐標為（10，0）
∴對B點，，
解得；
∴B（6，8）；

（2）①分為兩種情況：如圖1，

CP=t，OP=10-t，
設直線CB的解析式是y=kx+b，
C（10，0）B（8，6）代入得：，
解得：k=-3，b=30，
∴y=-3x+30，
把x=10-t代入得：y=-3（10-t）+30=3t，
∴PH=3t，
即S_△OPH=OP•PH=×（10-t）×3t，
假如存在某個時刻，使△OPH的面積等于△OBC面積的，
∴×（10-t）×3t=×8×10
3t²-30t+80=0，
b²-4ac=900-960＜0，
此方程無解，
即此時不存在某個時刻，使△OPH的面積等于△OBC面積的；
如圖2，
由（1）可知，正比例函數OB的解析式是y=，
OP=10-t，
把x=10-t代入y=x得：y=（10-t）=，
即PH=，
S_△OPH=OP•PH=×（10-t）×（10-t）=（10-t）²，
==40，
假設存在某個時刻，使△OPH的面積等于△OBC面積的，
即：（10-t）²=×40．
解得t=7，經檢驗符合題意，
所以存在某個時刻，使△OPH的面積等于△OBC面積的，此時t=7；

②第一種情況：如圖2，連接PB，OB與圓P相切，切點為K，PC=t，
由（1）知B點的坐標為（6，8），
OB==10，
P點的坐標為（10-t，0），
對△OBP，，即（10-t）×8=10×PK，
∴PK=，
又∵PK、PC均為⊙P的半徑，
∴PK=PC，即=t，
解得t=．
所以，當⊙P與線段OB只有一個公共點時，t=．
第二種情況：當t=10時，P和O重合，此時PB=PC，即B在⊙P上、O在⊙P內，且⊙P和OB只有一個交點B；
當t=5時，O在⊙P上，當t＞5時，O在⊙P內，
∴當5＜t≤10時，⊙P和OB只有一個交點；
即當t=或5＜t≤10時，⊙P和OB只有一個交點．
點評：本題考查了直線與圓的位置關系、三角形面積的計算．解決①的關鍵是根據已知條件及三角形的面積列出關于t的一元一次方程式，進而得出結果；解決②的關鍵是將計算長度轉化為同一三角形從不同角度來看面積的計算，進而求出未知長度．