Question

（2012•姜堰市二模）如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，點D在⊙O上，AD⊥AB于點A，AD與BC交于點E，F在DA的延長線上，且AF=AE．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AD=4，，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，因AD⊥AB，所以BD是直徑．證明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于點G．由（1）中結論∠D=∠2=∠3，分別把這三個角轉化到直角三角形中，根據，求相關線段的長．
解答：證明：（1）如圖，連接BD．
∵AD⊥AB，D在圓O上，
∴∠DAB=90°，
∴DB是⊙O的直徑．
∴∠1+∠2+∠D=90°．
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3．
∴∠1+∠2+∠3=90°．
即OB⊥BF于B．
∴直線BF是⊙O的切線．                               （4分）

（2）作AG⊥BC于點G．
∵∠D=∠2=∠3，
∴．
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，，
∴，．
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB=3，，
∴．
∵AB=AC，
∴．                                  （8分）
點評：此題考查了切線的判定方法，運用了三角函數求線段的長，綜合性較強，難度偏上．