Question

【題目】設m是不小于﹣1的實數，關于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個不相等的實數根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）令T=，求T的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m=；（2）0＜T≤4且T≠2．

【解析】

由方程方程由兩個不相等的實數根求得﹣1≤m＜1，根據根與系數的關系可得x1+x2=4﹣2m，x1x2=m2﹣3m+3；（1）把x12+x22=6化為（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根據﹣1≤m＜1對方程的解進行取舍；（2）把T化簡為2﹣2m，結合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范圍.

∵方程由兩個不相等的實數根，

所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）

=﹣4m+4＞0，

所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的實數，

∴﹣1≤m＜1

∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1x2=m2﹣3m+3；

（1）∵x12+x22=6，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，

即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6

整理，得m2﹣5m+2=0

解得m=；

∵﹣1≤m＜1

所以m=．

（2）T=+

=

=

=

=

=2﹣2m．

∵﹣1≤m＜1且m≠0

所以0＜2﹣2m≤4且m≠0

即0＜T≤4且T≠2．