Question

如圖1，將一塊圓心角為120°的半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a面積為S₁的正三角形的中心O點，并將紙板繞點O旋轉，請計算正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度和圖中重疊陰影部分的面積．
探索：
（1）如圖2，將紙板的圓心角變為90°，正三角形變為正方形（邊長為a面積為S₂），試求出正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度和圖中重疊陰影部分的面積；
（2）觀察圖3，根據上面解題時獲得的經驗與體會，提出相似的問題，并寫出解決的過程；
（3）由此可以猜測如下的一般結論：

 

．（只寫結論，不用證明）

Answer 1

分析：連接OA，OC，那么OA=OC，易得∠DOC=∠AOE=120°-∠EOC，∠COA=∠OCD=30°，可證△AOE≌△COD，利用全等三角形的對應線段相等，面積相等，將問題轉化．
（1）同法可得CE+CF=CD=a；S_{四邊形OECF}=S_△DOC=

1

4

S_{四邊形ABCD}=

1

4

S₂．
（2）同法可得EF+EG=AE=a，S_{四邊形ODCE}=S_△AOE=

1

5

S_{五邊形ABCDE}=

1

5

S₃．
（3）綜上所述，將一塊圓心角為

360°

n

°的半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a面積為S的正n邊形的中心O點，并將紙板繞點O旋轉，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為邊長a，圖中重疊陰影部分的面積為

s

n

．

解答：解：連接OA，OC，OB，
∴∠COA=∠OCD=∠OCA=30°，
∵DOE=120°，∠AOC=

360°

3

=120°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴∠DOC=∠AOE
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COD，
∴CD=AE，
∴CD+CE=AE+CE=AC=a，
S_{四邊形ODCE}=S_△AOC=

1

3

S_△ABC=

1

3

S₁．

（1）連接OC，OD，
∴∠ECO=∠OCF=45°，
∵∠EOF=90°，∠COF=

360°

4

=90°，
∴∠EOF=∠COF，
∴∠EOC=∠DOF，
又∵OC=OD，
∴△DOF≌△COE，
∴CE=DF，
∴CE+CF=FD+CF=CD=a，
S_{四邊形OECF}=S_△DOC=

1

4

S_{四邊形ABCD}=

1

4

S₂．

（2）將紙板的圓心角變為72°，正三角形變為正五邊形（邊長為a面積為S₃），試求出正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度和圖中重疊陰影部分的面積．
連接OE，OA，同樣可得△AOG≌△EOF，
∴FE=AG，
∴S_{四邊形ODCE}=S_△AOE=

1

5

S_{五邊形ABCDE}=

1

5

S₃．

（3）將一塊圓心角為

360°

n

的半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a面積為S的正n邊形的中心O點，并將紙板繞點O旋轉，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為邊長a，圖中重疊陰影部分的面積為

s

n

．

點評：應利用全等把所求的線段和面積轉換為容易算出的線段和圖形的面積，注意類比方法的運用．