Question

（2012•海門市模擬）如圖，菱形ABCD的邊長為1，BD=1，E，F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=1，設△BEF的面積為s，則s的取值范圍是（　　）

• A．

  1

  4

  ≤s≤1
• B．

  3 3

  4

  ≤s≤

  3

• C．

  3 3

  16

  ≤s≤

  3

  4

• D．

  3 3

  8

  ≤s≤

  3

  2

Answer 1

分析：利用菱形的性質和正三角形的特點可證得△BDE≌△BCF；繼而可得△BEF為正三角形，然后作出恰當的輔助線，構成直角三角形，根據直角三角形的特點和三角函數進行計算即可求得答案．

解答：解：菱形ABCD的邊長為1，BD=1，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，

DE=CF ∠BDE=∠C BD=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；
設BE=BF=EF=x，
則S=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
當BE⊥AD時，x最小為：1×sin60°=

3

2

，
∴S_最小=

3

4

×（

3

2

）²=

3 3

16

，
當BE與AB重合時，x最大，
∵菱形ABCD的邊長為1，
∴AB=1，
∴x最大為1，
∴S_最大=

3

4

×1²=

3

4

，
∴

3 3

16

≤s≤

3

4

．
故選C．

點評：此題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質以及三角形的面積問題．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．