Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC上一個動點（不與B、C重合），在AC上取E點，使∠ADE=45度．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)：△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=x2﹣x+1．（3）AE的長為2﹣或．

【解析】

試題分析：此題有三問，（1）證明△ABD∽△DCE，已經(jīng)有∠B=∠C，只需要再找一對角相等就可以了；

（2）由（1）證得△ABD∽△DCE，有相似就線段成比例，于是利用（1）的結(jié)果可證得（2）；

（3）當(dāng)△ABD∽△DCE時，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分兩種情況證明結(jié)論．

（1）證明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∵∠ADE=45°，

∴∠BDA+∠CDE=135°．

又∠BDA+∠BAD=135°，

∴∠BAD=∠CDE．

∴△ABD∽△DCE．

（2）解：∵△ABD∽△DCE，

∴；

∵BD=x，

∴CD=BC﹣BD=﹣x．

∴，

∴CE=x﹣x2．

∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x2）=x2﹣x+1．

即y=x2﹣x+1．

（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，

∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時，第一種可能是AD=DE．

又∵△ABD∽△DCE，

∴△ABD≌△DCE．

∴CD=AB=1．

∴BD=﹣1．

∵BD=CE，

∴AE=AC﹣CE=2﹣．

當(dāng)△ADE是等腰三角形時，第二種可能是ED=EA．

∵∠ADE=45°，

∴此時有∠DEA=90°．

即△ADE為等腰直角三角形．

∴AE=DE=AC=．

當(dāng)AD=EA時，點D與點B重合，不合題意，所以舍去，

因此AE的長為2﹣或．