Question

在直角坐標系中，直線L₁的解析式為y=2x-1，直線L₂過原點且L₂與直線L₁交于點P（-2，a）．
（1）試求a的值；
（2）試問（-2，a）可以看作是怎樣的二元一次方程組的解；
（3）設直線L₁與x軸交于點A，你能求出△APO的面積嗎？試試看；
（4）在直線L₁上是否存在點M，使點M到x軸和y軸的距離相等？若存在，求出點M的坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于P是兩個函數的交點，因此可將P點坐標代入直線L₁的解析式中，求出a的值．
（2）由于直線L₂過原點，因此一次函數L₂是個正比例函數，根據P點坐標，可確定其解析式．聯立兩個直線解析式所組成的方程組的解，即為兩個函數圖象的交點坐標．
（3）根據直線L₁的解析式，可求出A點坐標；以OA為底，P點縱坐標絕對值為高，可求出△OAP的面積．
（4）若點M到x軸、y軸的距離相等，那么點M的坐標有兩種情況：
①橫坐標與縱坐標相等；②橫坐標與縱坐標互為相反數；因此本題要分情況討論．

解答：解：（1）把（-2，a）代入y=2x-1，得：-4-1=a，
解得a=-5．

（2）由（1）知：點P（-2，-5）；
則直線L₂的解析式是y=

5

2

x；
因此（-2，a）可以看作二元一次方程組

y=2x-1 y= 5 2 x

的解．

（3）直線L₁與x軸交于點A（

1

2

，0），
所以S_△APO=

1

2

×

1

2

×5=

5

4

．

（4）存在點M，使得點M到x軸和y軸的距離相等．
設點M的坐標為（a，b）；
①當a=b時，點M的坐標為（a，a）；代入y=2x-1得：2a-1=a，a=1；即點M的坐標為（1，1）；
②當a=-b時，點M的坐標為（a，-a）；代入y=2x-1得：2a-1=-a，a=

1

3

；即點M的坐標為（

1

3

，-

1

3

）．
綜上所述，存在符合條件的點M坐標為（1，1）或（

1

3

，-

1

3

）．

點評：本題是一個開放性問題，綜合考查了函數圖象交點、圖形面積求法等知識．解答（4）題時需注意，由于點M的坐標存在兩種情況，因此要分類討論，以免漏解．