Question

如圖，在直角坐標平面上，點A（x₁，-3）在第三象限，點B（x₂，-1）在第四象限，線段AB交y軸于點D．∠AOB=90°，S_△AOB=9，設∠AOD=α，求sinα•cosα的值．

Answer 1

分析：首先過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BE⊥x軸于E，易得∠OAC=∠AOD=α，又由∠AOB=90°，易得∠BOE=∠AOD=α，即可得在Rt△AOC中，cosα=

AC

OA

，在Rt△BOE中，sinα=

BE

OB

，又由S_△AOB=9，求得OA•OB的值，繼而求得sinα•cosα的值．

解答：解：過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BE⊥x軸于E，
∴AC∥y軸，
∴∠OAC=∠AOD=α，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠BOE=90°，
∴∠BOE=∠AOD=α，
在Rt△AOC中，cosα=

AC

OA

，
在Rt△BOE中，sinα=

BE

OB

，
∵S_△AOB=

1

2

OB•OA=9，
∴OB•OA=18，
∵A（x₁，-3）點B（x₂，-1），
∴sinα•cosα=

AC

OA

•

BE

OB

=

AC•BE

OA•OB

=

3

18

=

1

6

．

點評：此題考查了三角函數的定義、直角三角形的性質以及坐標與圖形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意數形結合思想的應用．