Question

如圖，正方形ABCD邊長為12，E為CD上一點，沿AE將△ADE折疊得△AEF，延長EF交BC于G，連接AG、CF，BG=6，下列說法正確的有
①△ABG≌△AFG；②DE=4；③AG∥CF；④．

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：根據翻折變換的性質和正方形的性質可證△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根據勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，求得面積比較即可．
解答：①正確．
因為AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
②正確．
因為：EF=DE，設DE=FE=x，則CG=6，EC=12-x．
在直角△ECG中，根據勾股定理，得（12-x）²+36=（x+6）²，
解得x=4．
∴DE=4．
③正確．
因為CG=BG=GF，
所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④正確．
過F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴=，EF=DE=4，GF=6，
∴EG=10，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比為：==，
∴S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC=×6×8-×8×（×6）=．
綜上可得①②③④正確，共4個．
故選D．
點評：本題綜合性較強，考查了翻折變換的性質和正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．