Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（a，0）（a＞0），點C是y軸上的一個動點，點C在y軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形，當點C移動到點O時，得到等邊△AOB（此時點P與點B重合）．

（1）點C在移動的過程中，當等邊三角形ACP的頂點P在第三象限時（如圖所示），求證：△AOC≌△ABP；

（2）若點P在第三象限，BP交x軸于點E，且∠ACO＝20°，求∠PAE的度數和E點的坐標；

（3）若∠APB＝30°，則點P的橫坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠PAE＝∠OAC﹣∠CAP＝10°，E（﹣a，0）；（3）﹣a或2a．

【解析】

(1) 先判斷出∠OAC=∠BAP, 進而得出結論;

(2) 利用直角三角形的性質得出∠OAC, 進而得出∠PAE, 再利用全等三角形的性質得出∠APB,利用三角形的外角得出∠AEB=30, 即可得出結論;

(3) 分點C在y軸負半軸和正半軸上,判斷出點P在x軸上, 即可得出結論.

（1）證明：∵△AOB和△ACP都是等邊三角形，

∴OA＝AB，AP＝AC，∠OAB＝∠CAP＝60°

∴∠OAC＝∠BAP，

在△AOC和△ABP中，，

∴△AOC≌△ABP（SAS），

（2）解：∵∠ACO＝20°，

∴∠OAC＝90°﹣20°＝70°，

∵∠CAP＝60°，

∴∠PAE＝∠OAC﹣∠CAP＝10°；

由（1）知，△AOC≌△ABP，

∴∠ABP＝∠AOC＝90°，∠ACO＝∠APB＝20°，

∴∠AEB＝∠APB+∠PAE＝20°+10°＝30°，

∵A（a，0），

∴OA＝a，

∴AB＝OA＝a，

在Rt△ABE中，AE＝2AB＝2a，

∴OE＝AE﹣OA＝a，

∴E（﹣a，0）；

（3）

當點C在y軸負半軸上時，當∠APB＝30°時，

由（1）知，△AOC≌△ABP，

∴∠ABP＝∠AOC＝90°，

∵∠OAB＝60°，

∴∠AEB＝30°＝∠APB，

∴點P和點E重合，

即：點P在x軸上，

在Rt△ABE中，AB＝a，

∴AP＝2AB＝2a，

∴OP＝AP﹣OA＝a，

∴P（﹣a，0）；

當點C在y軸正半軸時，

如圖（注：為了說明點P也在x軸上，作的圖形，不標準）

∵∠AOB＝60°，

∴∠APB＝∠AOB，

∴點P在以點O為圓心，OA為半徑的圓上，

∴OP＝OA，

在△AOC和△POC中，，

∴△AOC≌△POC，

∴∠ACO＝∠PCO，

∵∠ACP＝60°，

∴∠ACO＝∠PCO，

∴OC⊥AP，

∵OC⊥OA，∴點P在x軸上，

∴點P的橫坐標為﹣a，

當點C在y軸半軸上時，∠APB＝30°，如圖1，（注：為了說明點B和F重合，作的圖形，不標準）

由（1）知，△AOC≌△ABP（SAS），

∴∠ABP＝∠OAC＝90°，

∵在等邊三角形ACP中，∠CAP＝60°，

∵∠APB＝30°，

∴∠AFP＝90°，

∴點B和F重合，

∴AB＝AC＝AP，

∵OA＝AB，

∴OA＝AP，

過點P作PH⊥OA于H，

∴∠PAH＝60°，

∴AH＝AP，

∴AH＝OA，

∴AH＝2OA，

∵A（a，0），

∴OA＝a，

∴AH＝2a，

∴點P的橫坐標為2a，

故答案為：﹣a或2a．