Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，）為圓心，作⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，連接AM并延長交⊙M于點P，連接PC交x軸于點E，連接DB，∠BDC=30°．
（1）求弦AB的長；
（2）求直線PC的函數解析式；
（3）連接AC，求△ACP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠AMO的度數，得出等邊三角形AMC，求出CM、OM，根據勾股定理求出OA，根據垂徑定理求出AB即可；
（2）連接PB，求出PB餓值，即可得出P的坐標，求出C的坐標，設直線PC的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（3）分別求出△AMC和△CMP的面積，相加即可求出答案．
解答：（1）解：∵CD⊥AB，CD為直徑，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AMO=2∠P=2∠BDC=60°，
∵MA=MC，
∴△MAC是等邊三角形，
∴MA=AC=MC，
∵x軸⊥y軸，
∴∠MAO=30°，
∴AM=2OM=2，
由勾股定理得：AO=3，
由垂徑定理得：AB=2AO=6．

（2）解：連接PB，
∵AP為直徑，
∴PB⊥AB，∴PB=AP=2，
∴P（3，2），
∵MA=AC，AO⊥MC，
∴OM=OC=，
C（0，-）
設直線PC的解析式是y=kx+b，代入得：，
解得：k=，b=-，
∴y=x-．

（3）解：P（3，2），
∴S_△ACP=S_△ACM+S_△CPM，
=×2×3+×2×3=6，
答：△ACP的面積是6．
點評：本題綜合考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，三角形的面積，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點的運用，主要考查學生綜合運用這些定理進行推理和計算的能力，本題綜合性比較強，但難度適中，是一道比較好的題目．