Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，OF⊥AC于點F．∠D=30°，BC=1．
（1）求⊙O的半徑．
（2）求圓中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB為⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，可求得∠A=30°，繼而可求得答案；
（2）首先可求得OF與AC的長，繼而求得∠AOC的度數，然后由S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC，即可求得陰影部分的面積．
解答：解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠D=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，
∴⊙O的半徑為1．

（2）連接OC，
∵OF⊥AC，∠A=30°，OA=1，
∴OF=OA=，
∴AF==，
∴AC=2AF=，
∵∠BOC=2∠A=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°，
∴S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC=-××=π-．
點評：此題考查了圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．