Question

如圖，一圓錐的軸截面是邊長為6的等邊三角形OAB，現有一小蟲從點A 爬到OB的中點C處，那么小蟲所走的最短路線是多少？

Answer 1

分析：求出圓錐底面圓的周長，則以OA為一邊，將圓錐展開，就得到一個以O為圓心，以OA為半徑的扇形，根據弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BOA=90°，連接AC，根據勾股定理求出AC即可．

解答：解：圓錐底面是以AB為直徑的圓，圓的周長是ABπ=6π，
以OA為一邊，將圓錐展開，就得到一個以O為圓心，以OA為半徑的扇形，弧長是l=6π，
設展開后的圓心角是n°，則

nπ×6

180

=6π，
解得：n=180，
即展開后∠BOA=

1

2

×180°=90°，
OC=

1

2

OB=3，OA=6，
則在圓錐的側面上從A點到C點的最短路線的長就是展開后線段AC的長，
由勾股定理得：AC=

OA2+OC2

=

62+32

=3

5

．
答：小蟲所走的最短路線是3

5

．

點評：本題考查了圓錐的計算，平面展開-最短路線問題，勾股定理，弧長公式等知識點的應用，主要考查學生的理解能力和空間想象能力，題目是一道具有代表性的題目，有一定的難度．