Question

計算多項式ax³+bx²+cx+d的值時有以下3種算法，分別統計3種算法中的乘法次數．
①直接計算：ax³+bx²+cx+d時共有3+2+l=6（次）乘法；
②利用已有冪運算結果：x³=x²•x，計算ax³+bx²+cx+d時共有2+2+1=5（次）乘法；
③逐項迭代：ax³+bx²+cx+d=[（ax+b）x+c]x+d，其中等式右端運算中含有3次乘法．
請問：（1）分別使用以上3種算法，統計算式a₀x¹⁰+a₁x⁹+a₂x⁸+…+a₉x+a₁₀中乘法的次數，并比較3種算法的優劣．
（2）對n次多項式a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n（其中a₀，a₁，a₂，…，a_n為系數，n＞1），分別使用以上3種算法統計其中乘法的次數，并比較3種算法的優劣．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件①直接計算；②利用已有冪運算結果；③逐項迭代，分別利用3種運算方法直接求出即可；
（2）利用（1）種算法，分別運用3種運算方法算出即可．

解答：解：（1）根據已知中3種運算方法直接算出即可：
3種運算法的次數分別為：
①10+9+8+…+2+1=55次；
②2×9+1=19次；
③10次．

（2）乘法次數分別是：
①n+（n-1）+…+3+2+1=

n(n+1)

2

（次）；
②2（n-1）+1=2n-1（次）；
③n次．
∴①直接計算法可以得出所有項的總次數；
②利用已有冪運算結果法只是最高冪的運算；
③逐項迭代法只能得出最高次數．

點評：此題主要考查了整式的混合運算中規律性問題的綜合應用，根據已知條件發現運算規律是中考中熱點問題，同學們應注意根據已知善于發現規律．