Question

如圖，正方形ABCE的邊長為1，點M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長為2，則△MAN的面積的最小值為（　　）

• A．

  2

  -1
• B．2

  2

  -2
• C．2

  2

• D．2

  2

  -1

Answer 1

分析：如圖，延長CB至L，使BL=DN，則Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，進而求證△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°設CM=x，CN=y，MN=z，根據x²+y²=z²，和x+y+z=2，整理根據△=4（z-2）²-32（1-z）≥0可以解題．

解答：解：延長CB至L，使BL=DN，
則Rt△ABL≌Rt△AND，
故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
設CM=x，CN=y，MN=z
x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，
則x=2-y-z
∴（2-y-z）²+y²=z²，
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0，
即（z+2+2

2

）（z+2-2

2

）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2

2

-2，當且僅當x=y=2-

2

時等號成立
此時S_△AMN=S_△AML=

1

2

ML•AB=

1

2

z
因此，當z=2

2

-2，x=y=2-

2

時，S_△AMN取到最小值為

2

-1．
故選A．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了正方形各邊長相等，各內角為直角的性質，本題中求證△AMN≌△AML是解題的關鍵．