Question

如圖（1）所示，一副三角板中，含45°角的一條直角邊AC在y軸上，斜邊AB交x軸于點G．含30°角的三角板的頂點與點A重合，直角邊AE和斜邊AD分別交x軸于點F、H．
（1）若AB∥ED，求∠AHO的度數；
（2）如圖2，將三角板ADE繞點A旋轉．在旋轉過程中，∠AGH的平分線GM與∠AHF的平分線HM相交于點M，∠COF的平分線ON與∠OFE的平分線FN相交于點N．
①當∠AHO=60°時，求∠M的度數；
②試問∠N+∠M的度數是否發生變化？若改變，求出變化范圍；若保持不變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB∥ED可以得到∠BAD=∠D=60°，即∠BAC+∠CAD=60°，然后根據已知條件即可求出∠AHO；
（2）①由∠AHO+∠AHF=180°，∠AHO=60°，可以求出∠AHF，而HM是∠AHF的平分線，GM是∠AGH的平分線，∠MHF=∠MGH+∠M，由此即可求出∠M；
②∠N+∠M的度數不變，當∠BAC與∠DAE沒有重合部分時，∠GAH-∠OAF=（45°+∠OAH）-（30°+∠OAH）=15°；當AC與AD在一條直線上時，∠GAH-∠OAF=45°-30°=15°；當∠BAC與∠DAE有重合部分時，∠GAH-∠OAF=（45°-∠OAH）-（30°-∠OAH）=15°，即∠GAH-∠OAF=15°．而根據已知條件∠M=∠MHF-∠MGH=

1

2

∠AHF-

1

2

∠AGH=

1

2

∠GAH，∠N=180°-（

1

2

∠OFE+

1

2

90°）=180°-

1

2

（∠OAF+90°）-

1

2

90°=90°-

1

2

∠OAF，由此即可得到結論．

解答：解：（1）∵AB∥ED
∴∠BAD=∠D=60°（兩直線平行，內錯角相等），
即∠BAC+∠CAD=60°．
∵∠BAC=45°，
∴∠CAD=60°-45°=15°，
∠AHO=90°-∠CAD=75°；

（2）①∵∠AHO+∠AHF=180°，∠AHO=60°，
∴∠AHF=180°-60°=120°
∵HM是∠AHF的平分線，
∴∠MHF=

1

2

∠AHF=60°（角平分線的定義）．
∵GM是∠AGH的平分線，∠AGH=45°，
∴∠MGH=

1

2

∠AGH=22.5°，
∵∠MHF=∠MGH+∠M，
∴∠M=60°-22.5°=37.5°；
②∠N+∠M的度數不變，理由是：
當∠BAC與∠DAE沒有重合部分時，
∠GAH-∠OAF=（45°+∠OAH）-（30°+∠OAH）=15°；
當AC與AD在一條直線上時，∠GAH-∠OAF=45°-30°=15°；
當∠BAC與∠DAE有重合部分時，
∠GAH-∠OAF=（45°-∠OAH）-（30°-∠OAH）=15°；
∴∠GAH-∠OAF=15°．
易得出∠M=∠MHF-∠MGH=

1

2

∠AHF-

1

2

∠AGH=

1

2

∠GAH，
∠N=180°-（

1

2

∠OFE+

1

2

90°）=180°-

1

2

（∠OAF+90°）-

1

2

90°
=90°-

1

2

∠OAF，
∴∠M+∠N=

1

2

∠GAH+90°-

1

2

∠OAF=90°+

1

2

×15°=97.5°（定值）．

點評：此題比較復雜，考查了三角形的內角和、三角形的外角的性質、角平分線的性質、平行線的性質等多個知識，綜合性比較強，難度比較大，學生首先心理上要相信自己，才能有信心解決問題．