Question

如圖，在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直線AD于點E.

（1）當點E與D恰好重合時，求AD的長；

（2）當點E在邊AD上時（E不與A、D重合），設AD=x，ED=y，試求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；

（3）問：是否可能使△ABE、△CDE與△BCE都相似？若能，請求出此時AD的長；若不能，請說明理由.

 

Answer 1

 

（1）3

（2），

（3）

解析:解：（1）當點E與D重合時，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，

           得△ABD∽△BDC，則，---------------------（2分）

           ∴，-----------------------------------------（1分）

           則.------------------------------（1分）

（2）作BH⊥DC，H為垂足，

    則∠ABE+∠EBH=, ∠EBH+∠HBC=，

∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=，

    ∴△ABE∽△HBC，------------------------------------（2分）

    又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=，

∴，即，--------------------------（2分）

解得，定義域為.----------------------（1分）

 （3）假設能使△ABE、△CDE與△BCE都相似，當點E在邊AD上時，（如圖1）

易知∠EBC=∠A=∠D=，

考慮∠1的對應角，容易得到∠1,∠1,

所以必有∠1=∠2=∠3=，

于是在△ABE、△CDE中，易得，,

∴,------------------------------------------（2分）

此時，,, BC=6, -----------------（1分）

即能使△ABE、△CDE與△BCE都相似；當點E在邊AD的延長線上時，（如圖2）

    類似分析可得∠1=∠2=∠3=，可求得,--------（2分）

同樣能使△ABE、△CDE與△BCE都相似.