Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，對角線AC平分∠BAD，點E在AB上，且AE=2（AE＜AD），點P是AC上的動點，則PE+PB的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據對稱，先作出點E關于直線AC的對稱點E′，則點E′一定在邊AD上，PE+PB的最小值即線段BE′的長．

解答：解：如圖，作EO⊥AC，并延長EO交AD于點E′，
∵對角線AC平分∠BAD，∠BAD=90°，
∴點E、E′關于AC對稱，
∴PE=PE′，AE=AE′，
∴PE+PB的最小值即線段BE′的長．
∵AE=2，AB=6，
∴AE′=2，
在直角三角形ABE′中，由勾股定理得，
BE′=

AE′2+AB2

=

22+62

=2

10

，
∴PE+PB的最小值是 2

10

．
故答案為2

10

．

點評：本題考查了軸對稱，最短路徑問題，解決此題的關鍵是作出點B或E兩點的對稱點，將兩條線段的和放到一條線段上來求．