Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點C，點P為線段OB上的動點（不與O、B重合），過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F，點D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當四邊形ODEF是平行四邊形時，求點P的坐標；
（3）過點A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）平行四邊形的對邊相等，因此EF=OD=2，據此列方程求出點P的坐標；
（3）本問利用中心對稱的性質求解．平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與?ODEF對稱中心的直線平分?ODEF的面積．
解答：解：（1）∵點A（-1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax²+bx+3上，
∴，
解得a=-1，b=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（2）在拋物線解析式y=-x²+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）坐標代入得：
，
解得k=-1，b=3，
∴y=-x+3．
設E點坐標為（x，-x²+2x+3），則P（x，0），F（x，-x+3），
∴EF=y_E-y_F=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
∵四邊形ODEF是平行四邊形，
∴EF=OD=2，
∴-x²+3x=2，即x²-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P點坐標為（1，0）或（2，0）．

（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與?ODEF對稱中心的直線平分?ODEF的面積．

①當P（1，0）時，
點F坐標為（1，2），又D（0，2），
設對角線DF的中點為G，則G（，2）．
設直線AG的解析式為y=kx+b，將A（-1，0），G（，2）坐標代入得：
，
解得k=b=，
∴所求直線的解析式為：y=x+；
②當P（2，0）時，
點F坐標為（2，1），又D（0，2），
設對角線DF的中點為G，則G（1，）．
設直線AG的解析式為y=kx+b，將A（-1，0），G（1，）坐標代入得：
，
解得k=b=，
∴所求直線的解析式為：y=x+．
綜上所述，所求直線的解析式為：y=x+或y=x+．
點評：本題是二次函數的綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、平行四邊形的性質、中心對稱的性質等知識點．第（3）問中，特別注意要充分利用平行四邊形中心對稱的性質，只要求出其對稱中心的坐標，即可利用待定系數法求出所求直線的解析式．