Question

現有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB=4cm，BC=6cm，點E是BC的中點．將紙片沿直線AE折疊，點B落在四邊形AECD內，記為點B′，過E作EF垂直B′C，交B′C于F．
（1）求AE、EF的位置關系；
（2）求線段B′C的長，并求△B′EC的面積．

Answer 1

分析：（1）由折線法及點E是BC的中點，可證得△B'EC是等腰三角形，再有條件證明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；
（2）連接BB′，通過折疊，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中點，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，從而可證△BB′C為直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可將OB，BB′的長求出，在Rt△BB′C中，根據勾股定理可將B′C的值求出，

解答：解：（1）由折線法及點E是BC的中點，
∴EB=EB′=EC，∠AEB=∠AEB′，
∴△B'EC是等腰三角形，
又∵EF⊥B′C
∴EF為∠B'EC的角平分線，即∠B′EF=∠FEC，
由①②得，∠AEF=90°，
即AE⊥EF；

（2）連接BB'交AE于點O，由折線法及點E是BC的中點，
∴EB=EB′=EC，
∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；
又∵△BB'C三內角之和為180°，
∴∠BB'C=90°；
∵點B′是點B關于直線AE的對稱點，
∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO²=AB²-AO²=BE²-（AE-AO）²
將AB=4cm，BE=3cm，AE=5cm，
∴AO=

16

5

cm，
∴BO=

AB 2-AO 2

=

12

5

cm，
∴BB′=2BO=

24

5

cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C=

BC 2-BB′ 2

=

18

5

cm，
由題意可知四邊形OEFB′是矩形，
∴EF=OB′=

12

5

，
∴S△B′EC=

1

2

×B′C•EF=

1

2

×

18

5

×

12

5

=

108

25

．

點評：本題考查圖形的折疊變化及三角形的內角和定理勾股定理的和矩形的性質綜合運用．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．