Question

如圖所示：AP、PB、AB分別是三個半圓的直徑，PQ⊥AB，面積為9π的圓O與兩個半圓及PQ都相切，而陰影部分的面積是39π，則AB的長是

 

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Answer 1

分析：設最大圓的圓心O₁，中園圓心O₂，小圓O₃，小圓半徑y(tǒng)，中圓半徑x，過O點作ON⊥AB于N，根據相切兩圓的性質求出則OO₁、OO₃、O₁N、O₃N的長，由勾股定理得到方程求出xy=3（x+y），根據已知求出xy=48，代入即可求出AB．

解答：解：設最大圓的圓心O₁，中園圓心O₂，小圓O₃，小圓半徑y(tǒng)，中圓半徑x，過O點作ON⊥AB于N，則OO₁=x+y-3 OO₃=y+3 O₁N=O₁P+PN=X-Y+3，O₃N=Y-3，由勾股定理根據ON²=OO₁²-O₁N²=OO₃²-O₃N²，
∴（x+y-3）²-（x-y+3）²=（y+3）²-（y-3）²，
解方程得：xy=3（x+y），
因為圖中陰影部分的面積是39π，
所以

1

2

[π（x+y）²-πx²-πy²]-9π=39π，∴xy=48，x+y=16，
∴AB=32，故答案為：32．

點評：本題主要考查對相切兩圓的性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，能推出xy=3（x+y）和xy=48是解此題的關鍵．