Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，，，，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若，求四邊形ABCF的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）100＋.

【解析】

（1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FED全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE＝EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）根據對角線互相垂直的四邊形是菱形可得四邊形BDFC是菱形，可求BD的長；再根據勾股定理可求AB的長，根據周長的定義可求四邊形ABCF的周長．

（1）證明：∵∠A＝∠ABC＝90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE＝∠DFE，

∵E是邊CD的中點，

∴CE＝DE，

在△BEC與△FED中，，

∴△BEC≌△FED（AAS），

∴BE＝FE，

又∵CE＝DE，

∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）解：∵BF⊥CD，四邊形BDFC是平行四邊形，

∴四邊形BDFC是菱形，

∴BD＝DF＝CF＝BC，

∵AD＝10，AF＝40，

∴DF＝4010＝30，

∴BD＝DF＝CF＝BC＝30，

∴在Rt△BAD中，AB＝，

∴四邊形ABCF的周長為：40＋30×2＋＝100＋．