Question

如圖A、B兩點的坐標分別為A（18，0），B（8，6）點P、Q同時出發分別作勻速運動，其中點P從A出發沿AO向終點O運動，速度為每秒3個單位；點Q從O出發沿OB向終點B運動，速度為每秒2個單位，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）坐標平面內是否存在點C，使以O、A、C為頂點的三角形與△OAB全等？請直接寫出點C的坐標．
（2）設從出發起，運動了t秒鐘，以O、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似，求出此時t的值；
（3）是否存在t，使△OPQ為等腰三角形？若存在，求出運動的時間t；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當△OAC≌△OAB時，C與B關于x軸對稱；當△OAC≌△AOB時，點C可能在第一象限，也可能在第四象限，根據全等三角形的面積相等先求出點C的縱坐標，進而求出點C的橫坐標；
（2）如果以O、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似，由于∠POQ=∠AOB，那么O與O是對應點，所以分兩種情況進行討論：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，即可求解；
（3）分三種情況進行討論：①OP=OQ；②PO=PQ；③QO=QP．

解答：解：（1）坐標平面內存在點C，使以O、A、C為頂點的三角形與△OAB全等．理由如下：
①當△OAC≌△OAB時，C與B關于x軸對稱，此時點C的坐標為（8，-6）；
②當△OAC≌△AOB時，點C可能在第一象限，也可能在第四象限，設點C的坐標為（x，y）．
∵△OAC≌△AOB，
∴S_△OAC=S_△AOB，即

1

2

•OA•|y|=

1

2

•OA•6，
∴|y|=6，y=±6．
如果點C在第一象限，如圖，過點B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E，則BD=CE=6，
∵△ACE≌△OBD（HL），
∴AE=OD=8，
∴OE=OA-AE=18-8=10，
∴此時點C的坐標為（10，6）；
如果點C在第四象限，易求此時點C的坐標為（10，-6）；
即滿足條件的點C的坐標為（8，-6）或（10，6）或（10，6）；

（2）設從出發起，運動了t秒鐘，以O、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似．
∵AP=3t，OQ=2t，
∴OP=18-3t．
分兩種情況：
①如果△POQ∽△AOB，那么

OP

OA

=

OQ

OB

，

18-3t

18

=

2t

10

，
解得t=

30

11

；
②如果△POQ∽△BOA，那么

OP

OB

=

OQ

OA

，

18-3t

10

=

2t

18

，
解得t=

162

37

；
故以O、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似時，t的值為

30

11

秒或

162

37

秒；

（3）△OPQ為等腰三角形時，分三種情況：
①如果OP=OQ，那么18-3t=2t，t=

18

5

；
②如果PO=PQ，如圖，過點P作PF⊥OQ于F，則OF=FQ=

1

2

OQ=

1

2

•2t=t．
∵在Rt△OPF中，∠OFP=90°，
∴OF=OP•cos∠POF=（18-3t）•

8

10

=

4

5

（18-3t），
∴t=

4

5

（18-3t），
解得t=

72

17

；
③如果QO=QP，如圖，過點Q作QG⊥OP于G，則OG=GP=

1

2

OP=

1

2

•（18-3t）=9-

3

2

t．
∵在Rt△OQG中，∠OGQ=90°，
∴OG=OQ•cos∠QOG=2t•

8

10

=

8

5

t，
∴9-

3

2

t=

8

5

t，
解得t=

90

31

．
綜上所述，所求t的值為

18

5

秒或

72

17

秒或

90

31

秒．

點評：本題考查全等三角形、相似三角形、等腰三角形的性質，綜合性較強，難度適中．運用數形結合及分類討論是解題的關鍵．