Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A點的坐標為（3，0），以OA為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C，動點P從O點出發沿OC向C點運動，動點Q從B點出發沿BA向A點運動，P，Q兩點同時出發速度均為1個單位/秒，設運動時間為t秒．
（1）求線段BC的長；
（2）連接PQ交線段OB于點E．過點E作x軸的平行線交線段BC于點F．設線段EF的長為m，求m與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將△BEF繞點B逆時針旋轉得到△BE′F′，使點E的對應點E′落在線段AB上，點F的對應點是F′，E′F′交x軸于點G，連接PE，QG，當t為何值時，2BQ-PF=QG？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質得出∠ABC=90°，進而得出CO=OB=AB=OA=3，以及AC=6，求出BC即可；
（2）過點Q作QN∥OB交x軸于點N，得出△AQN為等邊三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及=，表示出OE的長，利用m=BE=OB-OE求出即可；
（3）首先得出△AE′C為等邊三角形，進而得出∠QGA=90°，由EF∥OC，得出=，再得出△FCP∽△BCA，利用2BQ-PF=QG求出t的值即可．
解答：解：（1）如圖1，∵△AOB為等邊三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°，
∴∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=ACcos30°=AC=3；

（2）如圖1，過點Q作QN∥OB交x軸于點N，
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴QN=QA，
∴△AQN為等邊三角形，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∵OE∥QN，
∴△POE∽△PNQ，
∴=，
∴=，
∴OE=-t，
∵EF∥x軸，
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°，
∴EF=BE，
∴m=BE=OB-OE=t+（0＜t＜3）；


（3）如備用圖：
∵∠BE′F′=∠BEF=180°-∠EBF-∠EFB=120°，
∴∠AE′C=60°=∠E′AC，
∴GE′=GA，
∴△AE′G為等邊三角形，
∵Q′E=BE′-BQ=m-t=t+-t=-
∴GE′=GA=AE′=AB-BE′=-t=QE′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠QGA=90°，
∴QG=AG=-t，
∵EF∥OC，
∴=，
∴=，
∴BF=m=t+，
∵CF=BC-BF=-t，CP=CO-OP=3-t，
∴===
∵∠FCP=∠BCA，
∴△FCP∽△BCA，
∴=，
∴PF=，
∵2BQ-PF=QG，
∴2t-=×（-t）
解得：t=1，
∴當t=1時，2BQ-PF=QG．
點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應用以及等邊三角形的性質等知識，根據數形結合得出△FCP∽△BCA是解題關鍵．