Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心．（不寫作法，保留作圖痕跡）．

（2）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由．

（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）直線BC與⊙O的位置關系為：相切；理由見解析；（3）⊙O的半徑為3．

【解析】

（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心；

（2）根據切線的判定即可判斷直線BC與⊙O的位置關系；

（3）根據AB=8，BD=4，即可求⊙O的半徑．

（1）如圖，⊙O即為所求；

（2）直線BC與⊙O的位置關系為：相切，理由如下：

連接OD，

∴OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴AC∥OD，

∴∠ODB＝∠C＝90°，

∴OD⊥BC，OD是半徑，

∴直線BC與⊙O相切；

（3）設⊙O的半徑為x，

在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，

∴（8﹣x）2＝x2+42，

解得x＝3．

答：⊙O的半徑為3．