Question

如圖，已知在銳角△ABC中，∠ABC=2∠C，∠ABC的平分線與AD垂直于D，求證：AC=2BD．

Answer 1

證明：在BD上截取DF=DE，連接AF，
∵DF=DE，AD⊥BF，AD=AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE=AF，∠AFD=∠AEF
∵∠ABC=2∠C，BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠C=∠EBC，
∵∠AFE=∠ABE+∠BAF，∠AEF=∠EBC+∠C
∴∠FAB=∠ABF，
∴AF=BF（等角對等邊），
∴AE=BF．
∴AC=AE+EC
=BF+BE=（BD-DF）+（BD+DE）
=2BD．
分析：根據題意在BD上截取DF=DE，連接AF，結合題意推出△ADF≌△ADE，即得AE=AF，∠AFD=∠AEF，推出AF=BF，即可推出結論．
點評：本題主要考查等腰三角形的性質、外角的性質、全等三角形的判定和性質，關鍵在于求證△ADF≌△ADE，∠FAB=∠ABF．