Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF．當tan∠ADE=時，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質證明△EDF≌△CDF，由tan∠ADE=，根據已知條件可以求出AE=GC=2．設EF=x，則BF=8-CF=8-x，BE=4．在Rt△BEF中根據勾股定理即可求出x，也就求出了EF．
解答：解：過D作DG⊥BC于G．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠DGB=∠A=90°，
∴四邊形ABGD是矩形，
∵AB=AD=6，
∴四邊形ABGD是正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，
∵，
∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC，AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
∵，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF=CF，
∵tan∠ADE==，
∴AE=GC=×6=2．
∴BC=BG+CG=AD+AE=8，
設CF=x，則BF=8-CF=8-x，BE=4．
由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即EF=5．
點評：此題考查了直角梯形的性質、正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．