Question

設函數y=x²-（2k+1）x+2k-4的圖象如圖所示，它與x軸交于A，B兩點，且線段OA與OB的長度之比為1：3，則k=______．

Answer 1

y=x²-（2k+1）x+2k-4，令y=0，得到x²-（2k+1）x+2k-4=0，
設A（a，0），B（b，0），
可得x²-（2k+1）x+2k-4=0的兩個解分別為a，b（a＜0，b＞0），
則有a+b=2k+1，ab=2k-4，
又線段OA與OB的長度之比為1：3，即-a：b=1：3，
∴b=-3a，
∴a-3a=2k+1，a•（-3a）=2k-4，即a=-

1

2

（2k+1）=-k-

1

2

①，-3a²=2k-4②，
①代入②消去a得：-3（-k-

1

2

）²=2k-4，即12k²+20k-13=0，
分解因式得：（2k-1）（6k+13）=0，
解得：k=

1

2

或k=-

13

6

，
∵拋物線開口向上，且對稱軸在y軸右邊，
∴-（2k+1）＜0，即k＞-

1

2

，故k=-

13

6

舍去，
∴k=

1

2

．
故答案為：

1

2