Question

（1998•海淀區(qū)）在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=

1

2

x2+

3

4

nx+2-m的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，若
∠ACB=90°，

CO

AO

+

BO

CO

=1
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）試設(shè)計(jì)兩種方案：作一條與y軸不重合、與△ABC的兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積是△AOC面積的四分之一．求所截得的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)（說(shuō)明：不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠ACB=90°，以及OC⊥AB，則可以得到OC²=OA•OB，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于m的方程，求得m的值，然后依據(jù)

CO

AO

+

BO

CO

=1，利用OC²=OA•OB，即可求得OA的長(zhǎng)度，從而求得A的坐標(biāo)，代入解析式即可求得n的值，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）經(jīng)過(guò)OA或OC的中點(diǎn)，作△AOC的中位線，截得的三角形與△AOC以及△ABC一定相似，且面積是△AOC面積的四分之一，即可寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（答案不唯一）

解答：解：（1）在y=

1

2

x2+

3

4

nx+2-m中，令x=0，則y=2-m，
則C的坐標(biāo)是（0，2-m），則OC=m-2．
∵∠ACB=90°，
∴OC²=OA•OB，
設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是x₁，x₂，則OA=-x₁，OB=x₂．
則x₁•x₂=

2-m

1 2

=4-2m，
∴OC²=OA•OB=2m-4．
則（m-2）2=2m-4，解得：m=2（舍去）或4．
故m=4．則OC=4-2=2，
則C的坐標(biāo)是（0，-2），
∵

CO

AO

+

BO

CO

=1，即

CO2+AO•BO

AO•CO

=

2CO2

AO•CO

=

2CO

AO

=1，
∴AO=2CO=4，
則A的坐標(biāo)是：（-4，0），
把（-4，0）以及m=4代入方程即可得到：8-3n-2=0，解得：n=2，
則二次函數(shù)的解析式是：y=

1

2

x²+

3

2

x-2；
（2）直角△OAC中，OA=OC=2，則當(dāng)直線經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)，平行于OC時(shí)，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積是△AOC面積的四分之一，則三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，0）（-1，0），（-1，-1）；
直角△OAC中，OA=OC=2，則當(dāng)直線經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)，平行于OA時(shí)，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積是△AOC面積的四分之一，則三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2），（0，-1），（-1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得m的值是關(guān)鍵．