Question

【題目】如圖，地物線點：（、、均不為0）的頂點為，與軸的交點為，我們稱以為頂點，對稱軸是軸且過點的拋物線為拋物線的衍生拋物線，直線為拋物線的衍生直線.

（1）求拋物線的衍生拋物線和衍生直線的解析式；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是和，求這條拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）衍生拋物線頂點為原拋物線與y軸的交點，則可根據頂點設頂點式方程，由衍生拋物線過原拋物線的頂點代入頂點坐標可求出衍生拋物線解析式．根據衍生直線經過M、N可求衍生直線的解析式.

（2）已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與（1）相反，根據衍生拋物線與衍生直線的兩交點分別為衍生拋物線與原拋物線的交點，則可推得原拋物線頂點式，再代入經過點，即得解析式．

解：（1）∵拋物線點過，

∴設其衍生拋物線為．

∵，

∴衍生拋物線過拋物線的頂點．

∴，即．

∴衍生拋物線為．

設衍生直線為，則直線點過與，

∴解得

∴衍生直線為．

（2）∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點，

∴將和聯立，得

解得或

∵衍生拋物線的頂點為，

∴原拋物線的頂點為．

設原拋物線為，則拋物線過點，

∴，即，

∴原拋物線為．