Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經過B點，且頂點在直線上．

【小題1】求拋物線對應的函數關系式；
【小題2】若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由
【小題3】在（2）的條件下，連結BD，已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBD的周長最�。�請求出點P的坐標．
【小題4】在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（與點O、B不重合），過點M作MN∥BD交x軸于點N，連結PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】∵拋物線經過B（0，4），∴，------1分

∵頂點在直線上，∴，，
∴所求函數關系式為： --------------------------------------2分
【小題2】在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）．---------------------------------3分 
當時，，-----------------------------------------4分
當時，，
∴點C和點D在所求拋物線上．--------------------------------------------------5分
【小題3】設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點， --------------------------6分
設直線CD對應的函數關系式為，
則，解得：，
∴，---------------------7分
當時，，∴P（，），-------------------8分
【小題4】∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，
∴，，，---------------9分
設對稱軸交x軸于點F，則，
∵，，
∴（-------------10分
由，
∴當時，S取得最大值為，-----------------11分
此時點M的坐標為（0，）．解析:
此題考核二次函數的綜合應用
（1）  通過B（0，4），頂點在直線上，求出函數關系式
（2）  通過勾股定理和菱形性質求出C、D兩點的坐標，代入函數關系式求證
（3）  通過C、D兩點的坐標, 求出直線CD對應的函數關系式,從而求出點P的坐標
通過△OMN∽△OBD，求得，再通過面積求得S與t的函數關系式，從而求得最大值和M點的坐標