Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+42交x軸于點A，交直線y=x于點B，拋物線y=ax²-2x+c分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4，點P在這條拋物線上．
（1）求點C、D的縱坐標．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上一點，PQ⊥x軸，設P、Q兩點間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．[參考公式：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的頂點坐標為（-，）]．

Answer 1

【答案】分析：（1）點C在直線AB：y=-2x+42上，又C點的橫坐標，代入即可求出C點的縱坐標，同理可知：D點在直線OB：y=x上，又知D點的橫坐標，代入解析式即可求出D點的縱坐標．
（2）拋物線y=ax²-2x+c經過C、D兩點，列出關于a和c二元二次方程組，解出a和c即可．
（3）根據Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，則可以求出Q點的坐標，又知P點在拋物線上，求出P點的坐標即可，P、Q兩點的橫坐標的差的絕對值即為線段PQ的長．
（4）根據PQ⊥x軸，可知P和Q兩點的橫坐標相同，求出拋物線的頂點坐標和B點的坐標，①當Q是線段OB上的一點時，結合圖形寫出m的范圍，②當Q是線段AB上的一點時，結合圖形寫出m的范圍即．
解答：解：（1）∵點C在直線AB：y=-2x+42上，且C點的橫坐標為16，
∴y=-2×16+42=10，即點C的縱坐標為10；
∵D點在直線OB：y=x上，且D點的橫坐標為4，
∴點D的縱坐標為4；

（2）由（1）知點C的坐標為（16，10），點D的坐標為（4，4），
∵拋物線y=ax²-2x+c經過C、D兩點，
∴，
解得：a=，c=10，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+10；

（3）∵Q為線段OB上一點，縱坐標為5，
∴Q點的橫坐標也為5，
∵點P在拋物線上，縱坐標為5，
∴x²-2x+10=5，
解得x₁=8+2，x₂=8-2，
當點P的坐標為（8+2，5），點Q的坐標為（5，5），線段PQ的長為2+3，
當點P的坐標為（8-2，5），點Q的坐標為（5，5），線段PQ的長為2-3．
所以線段PQ的長為2+3或2-3．

（4）根據題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點的橫坐標相同，
拋物線y=x²-2x+10=（x-8）²+2的頂點坐標為（8，2），
聯立，解得點B的坐標為（14，14），
①當點Q為線段OB上時，如圖所示，當0≤m＜4時，d隨m的增大而減小，
在BD段，d=x-（x²-2x+10），
即d=-x²+3x-10，對稱軸是x=12，
當x≥12時，d隨x的增大而減小．
故當12≤m≤14時，d隨m的增大而減小．
則當0≤m＜4或12≤m≤14時，d隨m的增大而減小；
②當點Q為線段AB上時，如圖所示，當14≤m＜16時，d隨m的增大而減小，
綜上所述，當0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小．
點評：本題是二次函數綜合題，難度不大，解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質．