Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和(0，3）.動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動的面四民﹒數學興趣小組對捐款情況進行了抽樣調查，速度分別為1，，2 (長度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 (長度單位/秒)的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．

        請解答下列問題：

（1）過A，B兩點的直線解析式是 ▲  ；

（2）當t﹦4時，點P的坐標為  ▲   ；當t ﹦  ▲   ，點P與點E重合；

（3）

① 作點P關于直線EF的對稱點P′. 在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

② 當t﹦2時，是否存在著點Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出點Q的坐標；

若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）（0,），

（3）①

②存在，理由略。

解析:解：（1）；………4分

 （2）（0,），；……4分（各2分）

 （3）①當點在線段上時，過作⊥軸，為垂足（如圖1）

          ∵,,∠∠90°

          ∴△≌△，∴﹒

又∵,∠60°,∴

          而，∴,

          由得  ；……………………………………………………1分

          當點P在線段上時，形成的是三角形，不存在菱形；

          當點P在線段上時，

過P作⊥，⊥，、分別為垂足（如圖2）

         ∵,∴,∴

         ∴， 又∵

         在Rt△中，

         即，解得．…………………………………………1分

②存在﹒理由如下：

         ∵，∴,，

將△繞點順時針方向旋轉90°，得到△（如圖3）

         ∵⊥，∴點在直線上，

    C點坐標為（，－1）

         過作∥，交于點Q,

則△∽△

    由，可得Q的坐標為（－，）………………1分

根據對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點（－，）也符合條件．…1分