Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半徑為1的圓的圓心P以1個(gè)單位/s的速度由點(diǎn)A沿AC方向在AC上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P與AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于點(diǎn)D，如果⊙P和線段BC交于點(diǎn)E，證明：當(dāng)t=

16

5

s時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)⊙P在移動(dòng)中與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接PM，根據(jù)△APM∽△ABC可求得t的值；
（2）由BC⊥AC，PD⊥AC，易得BC∥DP，再分別求得PD、BE的值，證明其相等，即可得出四邊形PDBE為平行四邊形的結(jié)論．

解答：（1）解：當(dāng)⊙P在移動(dòng)中與AB相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為M，連接PM，則∠AMP=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PM

BC

，
∵AP=t，AB=

AC2+BC2

=5，
∴

t

5

=

1

3

，
∴t=

5

3

．（4分）

（2）證明：∵BC⊥AC，PD⊥AC，
∴BC∥DP，
當(dāng)t=

16

5

s時(shí)，AP=

16

5

，
∴PC=4-

16

5

=

4

5

，
∴EC=

PE2-PC2

=

12-( 4 5 )2

=

3

5

∴BE=BC-EC=3-

3

5

=

12

5

，
∵△ADP∽△ABC，
∴

PD

BC

=

AP

AC

，
∴

PD

3

=

16 5

4

，
∴PD=

12

5

，
∴PD=BE，
∴當(dāng)t=

16

5

s時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定．