Question

如圖，已知∠MAO=90°，△ABC為等邊三角形，OA=4，AB=a，以O為圓心的圓經過C點（即C點在⊙O上）．
（1）當⊙O與AC相切于點C時，a的值是多少？
（2）當a=2時，試探究⊙O與AB是什么位置關系？
（3）將△ABC繞B點逆時針旋轉120°后，得到△BEF，若EF所在的直線與⊙O相切，問此時a的值是多少？

Answer 1

解：（1）∵⊙O與AC相切于C，
∴OC⊥AC于C，
又∵∠OAM=90°，△ACB為等邊三角形，則：
AC=AB=，∠OAC=30°，OC=AO=2，
∴4²=2²+（）²，
∴a=1；

（2）∵a=2，∴AB=AC=4，
過O作OD⊥AC于D，在直角△AOD中，
∠OAC=90°-60°=30°，OA=4，
∴OD=2，AD=，
∴DC=AD=2，
∴OD垂直平分AC，則半徑OC=OA=4；
∵∠OAM=90°
∴⊙O與AB相切；

（3）延長FE交射線AO于N，作OP⊥EN于P，CD⊥AO于D，
易得CD=a，AD=3a，OD=4-3a；
∵AF=4a，∠ANF=30°，
∴AN=12a，ON=12a-4，
∴OP=6a-2，
∵OP=OC，即OP²=OC²，
∴（6a-2）²=（a）²+（4-3a）²，
a=．
分析：（1）△ABC是等邊三角形，則AB=AC，∠BAC=60°；在Rt△OAC中，根據OA的長和∠OAC的度數，易求得AC的長，即可得到關于a的等量關系式，由此得解；
（2）過O作AC的垂線，設垂足為D；同（1）可求得AD的長，此時發現AC=2AD，即OD垂直平分AC，得OA=OC，則OA為⊙O的半徑，而OA⊥AM，所以此時⊙O與AB相切；
（3）延長FE交AO的延長線于N，過O作OP⊥EN于P；過C作CD⊥AO于D；可用a分別在Rt△AFN和Rt△ACD中表示出AN、AD、CD的長，進而可表示出OD、ON、OP的長；由于⊙O與FN相切，那么此時⊙O同時經過C、P兩點，則OP=OC，可據此列出關于a的等量關系式求出a的值．
點評：此題主要考查的是等邊三角形的性質、切線的性質及勾股定理的應用．