Question

.已知方程（a-x）²-4（b-x）（c-x）=0，試說明：
（1）此方程必有實數根；
（2）若a、b、c為△ABC的三邊長，方程有兩個相等的實數根，則△ABC為等邊三角形。

Answer 1

證明：（1）整理方程（a-x）²-4（b-x）（c-x）=0，
得3x²-（4b+4c-2a）x+4bc-a²=0，
Δ=（4b+4c-2a）²-12（4bc-a²），
=16b²+16c²+16a²-16ab-16bc-16ac，
=8（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²），
=8[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，
∵（a-b）²≥0，（b-c）²≥0，（a-c）²≥0，
∴Δ≥0，
∴方程必有實數根；
（2）∵方程有兩個相等的實數根，
∴Δ=8[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=0，
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，
∵a、b、c為三角形三邊長，
∴a=b≠0，b=c≠0，a=c≠0，
∴a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形。