Question

圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：

∠A+∠D=∠C+∠B

；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：

6

個；
（3）圖2中，當∠D=50度，∠B=40度時，求∠P的度數．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；
（3）先根據“8字形”中的角的規律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②，可得2∠P=∠D+∠B，進而求出∠P的度數

解答：解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC（對頂角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B．
故答案為：∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；
②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；
③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；
④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；
⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；
⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6個；

（3）由（1）可知，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
由①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B，
又∵∠D=50°，∠B=40°，
∴2∠P=50°+40°=90°，
∴∠P=45°．

點評：本題考查的是三角形內角和定理及三角形外角的性質，熟知三角形的內角和是180°是解答此題的關鍵．