Question

已知關于x的方程（n-1）x²+mx+1=0  ①有兩個相等的實數根．
（1）求證：關于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0  ②必有兩個不相等的實數根；
（2）如果方程①的一個根是-，求方程②的根．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程①有兩個相等的實數根，則n-1≠0，△₁=0，可得m²=4n-4＞0，代入方程②的判別式△₂=8m²（n+3）（n-1）＞0．
（2）于方程①兩根相等，都是-，由根與系數的關系，列出m與n的方程組，求出m與n的值，代入方程②，求出其根．
解答：（1）證明：∵方程①有兩個相等的實數根，
∴△₁=0，
即n-1≠0，m²-4（n-1）=0，
m²=4（n-1）．
因為m²≥0，n≠1．
∴m²=4（n-1）＞0，n＞1．
方程②中，△₂=（-2m）²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=4m²（m²+2n²-2）．
將m²=4n-4代入，得△₂=4m²（2n²+4n-6）=8m²（n+3）（n-1）．
∵m²＞0，n＞1．
∴△₂＞0，
∴方程②有兩個不相等的實數根．

（2）解：∵方程①有兩個相等的實數根，
∴兩根都是-，
則-=-1，
=，
解得n=5，m=4．
代入方程②得16y²-8y-16-50+3=0．
解得y₁=-，y₂=．
點評：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
①△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
②△=0?方程有兩個相等的實數根；
③△＜0?方程沒有實數根．
（2）一元二次方程根與系數的關系：x_l+x₂=-，x_l•x₂=．