Question

有這樣一道習題：如圖1，已知OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點（不與O、A重合），BP的延長線交⊙O于Q，過Q點作⊙O的切線交OA的延長線于R．說明：RP=RQ．
請探究下列變化：
變化一：交換題設與結論．
已知：如圖1，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點（不與O、A重合），BP的延長線交⊙O于Q，R是OA的延長線上一點，且RP=RQ．
求證：RQ為⊙O的切線．
變化二：運動探究：
（1）如圖2，若OA向上平移，變化一中的結論還成立嗎？（只需交待判斷）
（2）如圖3，如果P在OA的延長線上時，BP交⊙O于Q，過點Q作⊙O的切線交OA的延長線于R，原題中的結論還成立嗎？為什么？
（3）若OA所在的直線向上平移且與⊙O無公共點，請你根據原題中的條件完成圖4，并判斷結論是否還成立？（只需交待判斷）

Answer 1

【答案】分析：原命題的證明：連接OQ，利用RQ為⊙O的切線，得出∠OQB+∠PQR=90°，根據半徑OB=OQ及OA⊥OB，得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，從而得∠PQR=∠QPR，證明結論；
變化一的證明：與原命題的證明過程相反，由RP=RQ，可知∠PQR=∠QPR=∠BPO，再利用互余關系將角進行轉化，證明∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°即可；
變化二的證明：連接OQ，仿照原命題的證明方法進行．
解答：證明：連接OQ，
∵RQ為⊙O的切線，
∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠PQR=∠BPO，
而∠BPO=∠QPR，
∴∠PQR=∠QPR，
∴RP=RQ；
變化一：
證明：∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，
∴RQ為⊙O的切線；
變化二．
（1）若OA向上平移，變化一中的結論還成立；
（2）原題中的結論還成立．

理由：連接OQ，
∵RQ為⊙O的切線，
∴∠OQR=90°，∠BQO+∠RQP=90°，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠RQP=∠BPO，
∴RP=RQ；
（3）原題中的結論還成立，如圖．

點評：本題考查了切線的判定與性質．關鍵是利用圓中的等腰三角形，對頂角相等，互余關系的角證明角相等．