Question

請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點．若廣告商要求包裝盒側面積Scm²最大，試求x應取何值？
設AE=FB=xcm，包裝盒側面積為Scm²．

（I）分析：由正方形硬紙片ABCD的邊長為60cm，AE=FB=xcm，則EF=________cm．
為更好地尋找題目中的等量關系，將剪掉的陰影部分三角形集中，得到邊長為EF的正方形，其面積為________cm²；折起的四個角上的四個等腰直角三角形的面積之和為________cm²．
（Ⅱ）由以上分析，用含x的代數式表示包裝盒的側面積S，并求出問題的解．

Answer 1

（60-2x）    （60-2x）²    4x²
分析：（1）根據正方形硬紙片ABCD的邊長為60cm，AE=FB=xcm，則EF=（60-2x）cm，進而得出邊長為EF的正方形的面積，以及四個等腰直角三角形的面積之和；
（2）利用S=60²-（60-2x）²-4x²整理求出二次函數最值即可．
解答：（1）EF的長為：（60-2x），
圖中陰影部分拼在一起是對角線為EF的正方形，其面積為：（60-2x）²cm²，
掀起的四個角上的四個等腰直角三角形的面積之和為：4x²cm²；
（2）由S=60²-（60-2x）²-4x²
=240x-8x²
=-8（x²-30x）
=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30），
所以當x=15cm時，側面積最大為1800cm²，
答：若包裝盒側面積Scm²最大，x應取15cm．
故答案為：（60-2x），（60-2x）²，4x²．
點評：此題主要考查了二次函數的應用以及最值求法，根據正方形的性質得出圖形的面積是解題關鍵．