Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D，E分別在AC，BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE，DF，EF．在此運動變化的過程中，下列結論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE不可能為正方形，
③DE長度的最小值為4；
④四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤△CDE面積的最大值為8．
其中正確的結論是（ ）

A．①②③
B．①④⑤
C．①③④
D．③④⑤

Answer 1

【答案】分析：解此題的關鍵在于判斷△DEF是否為等腰直角三角形，作常規輔助線連接CF，由SAS定理可證△CFE和△ADF全等，從而可證∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可證①正確，②錯誤，再由割補法可知④是正確的；
判斷③，⑤比較麻煩，因為△DEF是等腰直角三角形DE=DF，當DF與BC垂直，即DF最小時，DE取最小值4，故③錯誤，△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積，由③可知⑤是正確的．故只有①④⑤正確．
解答：解：連接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
因此①正確．
當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形．
因此②錯誤．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC，
因此④正確．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；
即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF=BC=4．
∴DE=DF=4；
因此③錯誤．
當△CEF面積最大時，由④知，此時△DEF的面積最小．
此時S_△CDE=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8；
因此⑤正確．
故選B．
點評：本題考查知識點較多，綜合性強，能力要求全面，難度較大．但作為選擇題可采用排除法等特有方法，使此題難度稍稍降低一些．