Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉一定的角度α得到△DEC，點A，B的對應點分別是D，E．

（1）當點E恰好在AC上時，如圖①所示，求∠ADE的度數；

（2）若α＝60°時，F是邊AC的中點，如圖②所示，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）證明見解析.

【解析】

（1）如圖①，利用旋轉的性質得CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠CAD，從而利用互余和計算出∠ADE的度數；
（2）如圖②，利用直角三角形斜邊上的中線性質得到BF=AC，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AB=AC，則BF=AB，再根據旋轉的性質得到∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，從而得到DE=BF，△ACD和△BCE為等邊三角形，接著證明△CFD≌△ABC得到DF=BC，然后根據平行四邊形的判定方法得到結論．

解：（1）∵△ABC繞點C順時針旋轉α得到△DEC，點E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.

∴∠CAD＝∠CDA＝×（180°﹣30°）＝75°

∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°.

（2）∵F是邊A C的中點，

∴BF＝AC.

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝AC.

∴BF＝AB.

∴△ABC繞點C順時針旋轉60°得到△DEC，

∴∠BCE＝∠ACD＝60°， BC＝EC，DE＝AB，AC=DC.

∴DE＝BF，△ACD，△BCE是等邊三角形.

∴BE＝BC.

∴F是邊AC的中點，

∴DF⊥AC，CF=BF=AB.

∴∠CFD=90°.

∴Rt△CFD≌Rt△ABC.

∴DF＝BC.

∴DF＝BE.

又∵BF＝DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．