Question

如圖，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b．
（1）當BD與a、b之間滿足怎樣的關系時，△ABC∽△CDB？
（2）過A作BD的垂線，與DB的延長線交于點E，若△ABC∽△CDB，求證四邊形AEDC為矩形（自己完成圖形）．

Answer 1

分析：（1）當BD=

b2

a

時，△ABC∽△CDB，理由為：相似三角形的性質；
（2）由（1）得到的兩三角形相似，根據相似三角形的對應角相等得到∠ACB與∠CBD相等，利用內錯角相等兩直線平行，推出AC與BD平行，再根據兩直線平行，同旁內角互補，由∠D為直角，得到∠ACD為直角，又∠E為直角，根據三個角為直角的四邊形是矩形，即可得證．

解答：證明：（1）若△ABC∽△CDB，
BC：AC=BD：BC，

AC

BC

=

BC

BD

，即

a

b

=

b

BD

，
∴BD=

b2

a

．
即當BD=

b2

a

時，△ABC∽△CDB；

（2）∵△ABC∽△CDB，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥ED．
又∵∠D=90°，
∴∠ACD=90°，
又∵∠E=90°，
∴四邊形AEDC為矩形．

點評：本題屬于探究條件型題，即在條件不充分的情況下，探究所缺失的條件，解答這類型試題可采用逆向思維，視結論為題設，尋找使之成立的必要條件．同時要求學生掌握相似三角形的判定與性質，以及矩形的判定方法．