Question

（2012•衡水一模）如圖，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E為BC上一點，且CE=6，過點E作EF⊥AD于點F，交對角線BD于點M．動點P從點D出發，沿折線DAB方向以2個單位長度/秒的速度向終點B勻速運動，運動時間為t秒．
（1）求DE的長；
（2）設△PMA的面積為S，求S與t的函數關系式（寫出t的取值范圍）；
（3）當t為何值時，△PMA為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）在△EDC中根據勾股定理即可求出DE長；
（2）①當點P在DA上時，即0≤t≤5時，由tan∠DBC=，求出ME長，即可得到MF，根據面積公式求出面積；②當點P在AB上時，即5≤t≤10時，證出菱形ABED，推出AB=BE，∠ABD=∠DBE，再證
△ABM≌△EBM，求出AM=5，即可求出答案；
（3）當點P在DA上時，有三種情況：①若MA=MP，②AM=AP，③若PM=PA，過點P作PH⊥AM于點H，求出每種情況的t的值；當點P在AB上時，∵∠BAM=90°，∴只有AM=AP，∴求出t的值，即可得到答案．
解答：解：（1）∵∠C=90°，CD=8，CE=6，
由勾股定理得：DE=，
=10，
答：DE的長是10．

（2）①當點P在DA上時，即0≤t≤5時，
∵四邊形ABCD為直角梯形，
∴AD∥BC，∠C=90°．
又∵EF⊥AD，
∴∠C=∠FEB=90°，
∴tan∠DBC=，
∴ME=BEtan∠DBC=5，
∴MF=3，
∴S_△APM=×AP×MF=×3×（10-2t）=-3t+15（0≤t≤5）；
②當點P在AB上時，即5≤t≤10時，
∵AD∥BC，且AD=BE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
又∵AD=DE=10，
∴四邊形ABED為菱形，
∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，
∴△ABM≌△EBM；
∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，
∴S_△APM=×AP×MA=×5×（2t-10）=5t-25（5≤t≤10）；
答：S與t的函數關系式是S=-3t+15（0≤t≤5），或S=5t-25（5≤t≤10）．

（3）當點P在DA上時，
①若MA=MP，
∵MF⊥AD，
∴AP=2AF，
又∵AM=5，FM=3，
∴AF=4，
∴AP=2AF=8，8=10-2t，
∴t=1；
②若AM=AP，
∴AP=5，5=10-2t，
∴t=；
③若PM=PA，過點P作PH⊥AM于點H，
∵∠PHA=∠MFA=90°，∠PAH=∠MAF，
∴△AHP∽△AFM，
∴AH=，
∴AM=2AH，，
∴t=；
④當點P在AB上時，
∵∠BAM=90°，
∴只有AM=AP，
∴2t-10=5，
∴t=；
綜上所述，當t=1或t=或t=或t=時，△PMA為等腰三角形．
答：當t=1或t=或t=或t=時，△PMA為等腰三角形．
點評：本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，三角形和梯形的面積等知識點，綜合運用性質和判定進行計算和證明是解此題的關鍵，注意分類討論思想的運用．