Question

如圖1，點A在反比例函數y=

4

x

（x＞0）的圖象上，B點在x軸上，且∠OAB=90°，OA=AB，作AC⊥OB于C．
①求點A的坐標．
②取AB的中點E，作∠ECF=90°交AO于F，試通過計算說明EF²與OF²+EB²的大小關系．
③如圖2，過點C作∠ECF=90°交AB于E，交AO于F，②中的結論是否仍成立證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件知道△AOB是等腰直角三角形，而AC⊥OB于C，可以得到AC=OC，這樣可以得到A的橫，縱坐標相等，然后利用反比例函數的解析式就可以求出A的坐標了；
（2）知道AC=OC=2，也就知道OB、AB、AO的長，可以確定E的坐標，根據AB的中點E，作∠ECF=90°交AO于F可以知道F也是AO的中點，所以2EF=OB，這樣可以通過計算EF²與OF²+EB²得到它們的關系；
（3）連接AC，利用已知條件證明△ACF≌△BCE，然后利用全等三角形的性質和勾股定理就可以證明題目的結論．

解答：解：
（1）∵△AOB是等腰直角三角形，而AC⊥OB于C，
∴OA=OC，
∵A在y=

4

x

的圖象上，
∴A（2，2）

（2）根據（1）可以得到AC=OC=2，
∴AB=2

2

∵E為AB的中點，∠ECF=90°交AO于F，
又∵△AOB是等腰直角三角形
∴四邊形AECF是正方形，
∴F是OA的中點，
∴EF=

1

2

OB=2，OF=BE=

2

，
∴EF²⁼OF²+EB²

（3）連接AC，
∴∠ACB=∠EFC=90°
∴∠ACF=∠ECB，
∵AC=BC，∠EBC=∠CAF=45°
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE，
∵OA=OB
∴OF=AE，
∴EF²=AF²+AE²=BE²+OF²．

點評：此題把正方形，等腰直角三角形放在反比例函數圖象的背景中，把代數知識和幾何知識緊緊結合在一起，利用幾何知識緊緊代數問題．