Question

【題目】已知：如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD中AD邊上的一動點(diǎn)，連結(jié)BE，作∠BEG=∠BEA交CD于G，再以B為圓心作，連結(jié)BG．

（1）求證：EG與相切．

（2）求∠EBG的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°.

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)B作BF⊥EG，垂足為F，先證得△ABE≌△FBE，得出BF=BA，根據(jù)切線的判定即可證得結(jié)論；

（2）由△ABE≌△FBE得出∠FBE=∠ABE=∠ABF，然后根據(jù)切線長定理得出GF=GC，進(jìn)而證得∠FBG=∠CBG=∠FBC，從而得出∠EBG=∠ABC=45°．

試題解析：（1）過點(diǎn)B作BF⊥EG，垂足為F，

∴∠BFE=90°

∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=90°，∴∠BFE=∠A，

∵∠BEG=∠BEA，BE=BE， ∴△ABE≌△FBE， ∴BF=BA，

∵BA為的半徑，∴BF為的半徑，∴EG與相切；

（2）由（1）可得△ABE≌△FBE，∴∠1=∠ABE=∠ABF，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C=∠ABC=90°，∴CD是⊙O切線，

由（1）可得EG與相切，∴GF=GC，

∵BF⊥EG，BC⊥CD，∴∠2=∠CBG=∠FBC，

∴∠EBG=∠1+∠2= (∠ABF+∠FBC)= ∠ABC=45°