Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），A點的坐標為（﹣1，0）．

（1）求二次函數的解析式；
（2）若點P是拋物線在第四象限上的一個動點，當四邊形ABPC的面積最大時，
求點P的坐標，并求出四邊形ABPC的最大面積；
（3）若Q為拋物線對稱軸上一動點，直接寫出使△QBC為直角三角形的點Q的
坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）在y=x2+bx+c上，

∴ ，解得 ，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=3或x=﹣1，

∴B（3，0），且C（0，﹣3），

∴經過B、C兩點的直線為y=x﹣3，

設點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），如圖，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，與直線BC交于點E，則E（x，x﹣3），

∵S四邊形ABPC=S△ABC+S△BCP= ×4×3+ （3x﹣x2）×3=﹣ x2+ x+6= ，

∴當 時，四邊形ABPC的面積最大，此時P點坐標為（ ，﹣ ），

∴四邊形ABPC的最大面積為

（3）

解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴對稱軸為x=1，

∴可設Q點坐標為（1，t），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BQ2=（1﹣3）2+t2=t2+4，CQ2=12+（t+3）2=t2+6t+10，BC2=18，

∵△QBC為直角三角形，

∴有∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三種情況，

① 當∠BQC=90°時，則有BQ2+CQ2=BC2，即t2+4+t2+6t+10=18，解得t= 或t= ，此時Q點坐標為（1， ）或（1， ）；

②當∠CBQ=90°時，則有BC2+BQ2=CQ2，即t2+4+18=t2+6t+10，解得t=2，此時Q點坐標為（1，2）；

③當∠BCQ=90°時，則有BC2+CQ2=BQ2，即18+t2+6t+10=t2+4，解得t=﹣4，此時Q點坐標為（1，﹣4）；

綜上可知Q點的坐標為（1， ）或（1， ）或（1，2）或（1，﹣4）．

【解析】（1）把A、C兩點坐標代入可求得b、c的值，可求得二次函數的解析式；（2）由拋物線解析式可求得B點坐標，由B、C坐標可求得直線BC解析式，可設出P點坐標，用P點坐標表示出四邊形ABPC的面積，根據二次函數的性質可求得其面積的最大值及P點坐標；（3）由拋物線解析式可求得其對稱軸，則可設出Q點的坐標，則可表示出QB2、QC2和BC2 ， 分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三種情況，分別根據勾股定理得到關于Q點坐標的方程，可求得Q點的坐標．