Question

（2001•北京）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，PA是過A點的直線，∠PAC=∠B，
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的長和∠ECB的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證PA是⊙O的切線，只要證∠PAO=90°即可，因為AB為直徑，所以有∠CAB+∠CBA=90°，又∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°即PA是⊙O的切線．
（2）連接AD、BD；可設CE=6x，AE=2y，進而根據已知條件，用x、y表示出DE、BE的長，由相交弦定理，即可求得x、y的比例關系；易證得△AEC∽△BED，根據所得成比例線段，即可求得BD的長，同理可設BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表達式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分別表示出AB²，即可得到關于m的方程，從而求出m的值，即BC的長，即可由勾股定理求得AB的長；
根據圓周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
∴∠CAB+∠CBA=90°；
又∠PAC=∠B，
∴∠CAB+∠PAC=90°；
∴∠PAB=90°；
即PA是⊙O的切線．

（2）解：設CE=6x，AE=2y，則DE=5x，BE=3y；
由相交弦定理，得：AE•EB=CE•DE，即：
2y•3y=5x•6x，解得：x=y；
∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，則有：；
∵AE=2y=2x，DE=5x，
∴，由于AC=8，則BD=4；
設BC=m，同理可求得AD=m；
∵AB是直徑，∴△ACB、△ADB是直角三角形；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²=AD²+BD²，即：
8²+m²=（m）²+（4）²，解得m=6；
故BC=6，AD=2；
∴AB==10，tan∠ECB=tan∠DAB==2．
點評：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理以及相似三角形的判定和性質等重要知識；此題的難點在于（2）題，通過兩步相似來求得BD的長以及AD、BC的比例關系，是解答此題的關鍵．