Question

【題目】如圖1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上．

（1）求證：AE2+AD2=2AC2；

（2）如圖2，若AE=3，AC=，點F是AD的中點，求出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接BD，根據題意可以證明△ADB是直角三角形，然后根據三角形全等和勾股定理即可證明結論成立；

（2）過C作CM⊥ED于M．根據（1）中的結論得到AD的長，從而得到ED的長，根據等腰三角形的性質得到CM和MD的長，根據中點的性質及線段的和差得到MF的長．在Rt△CMF中，根據勾股定理即可得到結論．

（1）連接BD．

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∠CEA=∠CDE=45°，∠CAB=∠CBA=45°，∴∠ECA=∠DCB．

在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴AE=BD，∠CEA=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°，∴△ADB是直角三角形，∴AD2+BD2=AB2．

在Rt△ACB中，AC=BC，AC2+BC2=2AC2=AB2，∴2AC2=AD2+BD2，即AE2+AD2=2AC2；

（2）過C作CM⊥ED于M．

∵AE2+AD2=2AC2，AE=3，AC=，∴AD=9，∴ED=EA+AD=3+9=12．

∵點F是AD的中點，∴AF=DF=4.5．

∵△ECD是等腰直角三角形，∴CM=ED=MD=6，∴MF=MD－DF=6－4.5=1.5．在Rt△CMF中，CF===．