Question

【題目】如圖，在中，為直徑，過點的直線與相交于點，是弦延長線上一點，，的平分線與分別相交于點，，是的中點，過點作，與，的延長線分別交于點，．

（1）求證：是的切線；

（2）若，．

①求的半徑；

②連接，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①13；②

【解析】

（1）如圖1，連接GO、GA，先根據角平分線的定義證明∠MAE=（∠BAC+∠BAD）=90°，由圓周角定理和同圓的半徑相等得∠OGA=∠FAG，則OG∥AM，所以∠MGO=180-∠M=90，從而得結論；
（2）①延長GO交AE于點P，證明四邊形MGPA為矩形，得GP=MA=18，∠GPA=90°，設OA=OG=r，則OP=18-r，根據勾股定理列方程解出即可；
②如圖3，過M作MH⊥l，連接BC，延長NE交l于I，連接GO交延長交AE于P，tan∠MAH=tan∠ABE=tan∠BIA=，BI=2BE=20，根據三角函數計算MH，AH，CI的長，最后計算MH和HC的長，代入tan∠MCD=，可得結論．

（1）證明：如圖1，連接，，

∵，的平分線與分別相交于點，，

∴．

∵，

∴．

∵是的中點，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵為半徑，

∴是的切線．

（2）解：①如圖2，連接并延長交于點，

∵，

∴四邊形為矩形，

∴，，即，

∴．

設，則，

在中，∵，

∴，

解得：，

故的半徑是13．

②如圖3，過作，連接，延長交于，連接并延長交于，

由①知：，，

∴．

∵是的直徑，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，．

∵，，，

∴，，，

∴，

∴，

∴．